Gleichungen mit einer Variablen

Bereits im Überblick Variablen und Terme sind Gleichungen kurz angesprochen worden.

Auf dieser Seite wird nun die Frage behandelt, wie man solche Gleichungen lösen kann. Dazu werden zuerst die allgemeinen Regeln für das Umformen und Lösen von Gleichungen vorgestellt und an Beispielen angewendet. Danach werden die Auflösungstechniken für zwei besonders häufige Gleichungstypen, nämlich lineare und quadratische Gleichungen, vorgestellt.

Auf der Themenseite Gleichungen - Ergänzungen werden dann einige weitere Klassen häufig auftretender Gleichungen separat untersucht:

• Bruchgleichungen
• Wurzelgleichungen
• Exponentialgleichungen
  

 

Begriffliches

Beispiele

$\begin{align} & x\,\,=\,\,2 \\ & y-3\,\,=\,\,5 \\ & 10\,\,=\,\,{{x}^{2}}-3x \\ \end{align}$

Beispiele

$\begin{align} & x\,\,=\,\,2 \\ & y-3\,\,=\,\,5 \\ & 10\,\,=\,\,{{x}^{2}}-3x \\ \end{align} $	Die Grundmengen dieser drei Gleichungen sind alle reellen Zahlen: $G=\mathbb{R}$
$\sqrt{x}\,\,=\,\,2$	Die positiven reellen Zahlen bilden die Grundmenge: $G={{\mathbb{R}}^{+}}$ (Die Wurzel aus negativen Zahlen ist nicht definiert)
$\large \frac{2}{x}\,\normalsize =\,\,1$	Null ist nicht Element der Grundmenge, da sonst durch Null dividiert würde: $G=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$

 

Beispiele

$x\,\,=\,\,2$	$L\,\,=\,\,\left\{ 2 \right\}$
$ y-3\,\,=\,\,5$	$L\,\,=\,\,\left\{ 8 \right\}$
$10\,\,=\,\,{{x}^{2}}-3x$	$L\,\,=\,\,\left\{ 5;-2 \right\}$

 

Äquivalenzumformungen

Um Gleichungen zu lösen, muss man sie durch geeignetes Umformen auf eine einfache Form bringen. Zu diesem Zweck werden die Terme auf beiden Seiten der Gleichung so lange verändert, bis die einfachste Form erreicht ist.

Bei diesen Umformungen darf die Lösungsmenge nicht verändert werden. Eine Umformung, welche die Lösungsmenge nicht verändert, heisst Äquivalenzumformung.

Zuerst betrachten wir die zwei wohl wichtigsten Äquivalenzumformungen für Gleichungen: eine additive und eine multiplikative. Sie werden im Folgenden mit Ä1 bzw. Ä2 bezeichnet.

 

Beispiel 1

$\begin{align} & y-3\,\,=\,\,5 \\ & y-3+3\,\,=\,\,5+3 \\ & y\,\,=\,\,8 \end{align}$

Wir schreiben:

$\ y-3\,\,=\,\,5 \quad \left| \,\,+3 \right.$

y wird isoliert, wenn auf beiden Seiten der Gleichung 3 addiert wird. Damit erhält man die einfachste Form der Gleichung:

$y = 8$.

Die Lösungsmenge erhält als (einziges) Element die Zahl 8:

$L\,\,=\,\,\left\{ 8 \right\}$

Setzt man die Lösung 8 in der Ausgangsgleichung ein, erhält man eine wahre Aussage: $8-3=5$

Zusätzlich ist 8 die einzige Lösung der Ausgangsgleichung. Deshalb ist "Addieren von 3 auf beiden Seiten der Gleichung" eine Äquivalenzumformung.

Beispiel 2

$ 2x-10\,\,=\,\,x+2 \quad \left| \,\,-x \right. $

Durch die Subtraktion von x auf beiden Seiten der Gleichung verschwindet x auf der rechten Seite der Gleichung:

$ x – 10 = 2 \quad \left| \,\,+10 \right. $

Durch die Addition von 10 auf beiden Seiten der Gleichung wird schliesslich x isoliert:

$x = 12$.

 

Beispiel 3

$\begin{align} &0.5x\,\,=\,\,2 \quad \,\,\,\,\left| \,\,\cdot \,\,2 \right. \quad \quad G\,\,=\,\,\mathbb{R} \\ &x\,\,=\,\,4 \end{align}$

Beispiel 4

$\begin{align} &4x\,\,=\,\,8 \quad \quad \left| \,\,\div \,\,4 \right. \quad \quad G\,\,=\,\,\mathbb{R} \\ &\,x\,\,=\,\,2 \end{align}$

Bei nächsten Beispiel handelt es sich um eine Bruchgleichung: Die Variable erscheint auch im Nenner. Bei der Bestimmung der Grundmenge muss deshalb sichergestellt werden, dass der Nenner nicht Null wird.

Beispiel 5

$ \large \frac{2}{x} \small \,\,=\,\,1 \quad \quad \left| \,\,\cdot x \right. \quad \quad G\,\,=\,\,\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$    (alle reellen Zahl ohne Null)
$\,x\,\,=\,\,2$

Beachten Sie auch, dass die Multiplikation mit x nur deshalb eine Äquivalenzumformung ist, weil 0 nicht zur Grundmenge gehört, also x sicher $\neq 0$ ist.

Die Lösungsmethoden für Bruchgleichungen werden auf der Seite Gleichungen - Ergänzungen noch eingehender untersucht.

 

Lineare Gleichungen

Die bisher betrachteten Beispiele waren allesamt lineare Gleichungen (1 bis 4) oder liessen sich wie durch eine einfache Äquivalenzumformung auf eine solche zurückführen. Linear heisst in diesem Zusammenhang, dass die Gleichung nur Summen und Vielfache der Lösungsvariablen enthält.

Die Auflösungsmethode für lineare Gleichungen ist generell die oben praktizierte: Durch Anwenden der Äquivalenzumformungen wird die Lösungsvariable auf der einen Seite des Gleichheitszeichens isoliert.

Das folgende Beispiel enthält eine etwas kompliziertere Gleichung; neben den erwähnten Äquivalenzumformungen für Gleichungen werden hier auch geeignete Termumformungen auf den einzelnen Seiten der Gleichung vorgenommen, um die Lösungsvariable isolieren zu können.

Beispiel 6

$- x + 1 + {(3x - 2)^2} = 2x(5x - 6) - {(x + 4)^2}\quad \quad G\,=\,\mathbb{R} $

Zunächst werden die beiden Seiten der Gleichung einzeln vereinfacht; falls nötig, finden Sie weitere Hinweise zu den dabei verwendeten Umformungen auf den Themenseiten

Addition, Subtraktion, Klammerregel, Multiplikation, Ausmultiplizieren und Binomische Formeln.

$\begin{eqnarray} - x + 1 + (9{x^2} - 12x + 4) &=& 10{x^2} - 12x - ({x^2} + 8x + 16)\\ - x + 1 + 9{x^2} - 12x + 4 &=& 10{x^2} - 12x - {x^2} - 8x - 16\\9{x^2} - 13x + 5 &=& 9{x^2} - 20x - 16 \end{eqnarray}$

Nun werden die Äquivalenzumformungen Ä1 und Ä2 angewendet:

$ \begin{eqnarray} 9{x^2} - 13x + 5 &=& 9{x^2} - 20x - 16 \quad \quad &\left| \,\,-9{x^2} \right. \\ - 13x + 5 &=& - 20x - 16 \quad \quad &\left| \,\,+20x-5 \right. \\ 7x&=&-21 \\ x&=&-3 \end{eqnarray}$

 

Quadratische Gleichungen

Im folgenden Beispiel versagt die obige Lösungstechnik, da es sich nicht um eine lineare, sondern um eine quadratische Gleichung handelt.

Beispiel 7

$ {x^2} -6x=40 \quad \quad G\,=\,\mathbb{R} $

Obwohl die Lösungsvariable x auf der linken Seite bereits isoliert ist, kann nicht nach ihr aufgelöst werden.

Allerdings kann man mit Hilfe der Äquivalenzumformung Ä1 erreichen, dass die linke Seite zu einem Term ergänzt wird, der sich als binomische Formel (vgl. Themenseite Binomische Formeln) schreiben lässt:

$\begin{eqnarray} {x^2} -6x &=& 40 &\left| \;\; \color{red}{+9} \right.\\ {x^2} - 6x + \color{red}{9} &=& 40 + \color{red}{9}\\{(x-3)^2} &=& 49 \end{eqnarray}$

Diese Gleichung könnte man vereinfachen, indem man auf beiden Seiten die Quadratwurzel zieht:

$x-3=7$

Beachten Sie aber, dass dies keine Äquivalenzumformung ist: Wenn das Quadrat eines Terms gleich 49 ist, kann dieser nämlich "vorher" nicht nur den Wert +7, sondern auch den Wert -7 gehabt haben! Wir müssen also beide Varianten weiterverfolgen:

$x-3=+7 \quad\rightarrow \quad {x_1}=10$

$x-3=-7 \quad \rightarrow \quad {x_2}=-4$

Die Lösungsmenge der Gleichung besteht also aus zwei Werten: $L\,=\,\left\{ 10;\,-4 \right\}$

Die im Beispiel 7 angewendete Lösungsidee der "quadratischen Ergänzung" kann verwendet werden, um allgemein quadratische Gleichungen der Form

$a{x^2}+bx+c=0$

zu lösen.

Quadratische Auflösungsformel:

\(\qquad {x_{1,2}} =\large \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\)

Details zur Herleitung dieser Formel finden Sie z.B. hier.

Im Beispiel 7:

$ \begin{align}{x^2} -6x=40& \quad \left| \;\; -40\right.\\ \color{blue} 1 {x^2} -6x-40=0& \end{align} $

$a=\color{blue}1 \color{black} \quad b=-6 \quad c=-40 \,$:

\({x_{1,2}} =\large \frac{{ - ( - 6) \pm \sqrt {{{( - 6)}^2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 40)} }}{{2 \cdot 1}} \normalsize = \large \frac{{6 \pm \sqrt {196}}}{2} = \frac{{6 \pm 16}}{2}\)

\( x_1=\large \frac{{6 + 16}}{2} \normalsize =10 \)

\( x_2=\large \frac{{6 - 16}}{2} \normalsize =-4 \)

Beispiel 8

$ {x^2} -x-1=0 $    (Gleichung des "Goldenen Schnitts")

$a=1 \quad b=-1 \quad c=-1 \,$:

\({x_{1,2}} =\large \frac{{ - ( - 1) \pm \sqrt {{{( - 1)}^2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1)} }}{{2 \cdot 1}} \normalsize = \large \frac{{1 \pm \sqrt {5}}}{2} \)

\( x_1=\large \frac{{1 + \sqrt{5}}}{2} \small =1.618 \)

\( x_2=\large \frac{{1 - \sqrt{5}}}{2} \small =-0.618 \)

Eine quadratische Gleichung kann also zwei Lösungen haben. Allerdings sind auch noch weitere Fälle denkbar: In der Auflösungsformel kommt ja eine Wurzel vor, und diese kann nur aus nicht-negativen Zahlen gezogen werden.

Aus dem lateinischen Wort für Entscheiden ("discriminare") stammt deshalb der Name für diesen Ausdruck unter der Wurzel:

Die Zahl der Lösungen hängt damit wie folgt vom Vorzeichen der Diskriminante D ab:

$D>0$	2 Lösungen	\({x_{1}} = \frac{{ - b + \sqrt {D} }}{{2a}} \; , \; {x_{2}} = \frac{{ - b - \sqrt {D} }}{{2a}}\)	Beispiel:  \(2{x^2}+x-1=0 \; \) mit Lösungen \({x_1}= 0.5 \; ,\;{x_2}= -1 \)
$D=0$	1 Lösung	\( x =\frac{- b}{2a} \)	Beispiel:  \({x^2}-2x+1=0 \; \) mit einziger Lösung \( x=1 \)
$D<0$	keine Lösung	-	Beispiel:  \({x^2}-x+2=0 \;\) besitzt keine Lösungen

Bemerkung:

Statt die Auflösungsformel zu verwenden, kann man auch versuchen, den quadratischen Term in zwei Klammerfaktoren \( \,(x-{x_1})(x-{x_2}) \,\) zu zerlegen. Dies ist aber nur eine sinnvolle Alternative, falls die quadratische Gleichung einfache (d.h. ganzzahlige) Lösungen besitzt.
Näheres zu dieser Methode auf der Themenseite Faktorisieren.

 

Gleichungen höheren Grades

Was aber, wenn eine Gleichung auch kubische Terme (d.h. "hoch drei") oder gar noch höhere Potenzen enthält? Wenn sich nichts vereinfachen lässt, wird man im Allgemeinen auf numerische Verfahren ("Solver" im Taschenrechner oder Computer) angewiesen sein.

In einzelnen Spezialfällen kann es allerdings gelingen, durch Faktorisieren eine Reduktion der Komplexität zu erreichen und die Gleichung zu lösen:

Beispiel 9

$ {x^3} = 2{x^2} + 3x \quad \quad G\,=\,\mathbb{R} $

Wenn man (mit Hilfe der Äquivalenzumformung Ä1) alle Terme mit x auf die linke Seite bringt, lässt sich x als Faktor ausklammern:

$ \quad {x^3}=2{x^2} +3x \quad \quad \left| \,\,-2{x^2} -3x \right.$

$ \begin{eqnarray} {x^3} - 2{x^2} - 3x=0 \\x \cdot ({x^2} - 2x - 3) =0\end{eqnarray}$

Links vom Gleichheitszeichen steht ein Produkt.

Ein Produkt kann nur dann =0 sein, wenn (mindestens) einer der beiden Faktoren =0 ist.

Somit muss entweder gelten: $x=0$  oder   ${x^2} - 2x - 3=0$

Alternative 1 liefert die erste Lösung:   ${x_1}=0$

Alternative 2 liefert, als Lösungen der quadratischen Gleichung ${x^2}-2x-3=0$, zwei weitere Lösungen der ursprünglichen Gleichung:

\({x_2} = 3 \quad {x_3} = -1 \)

Die Lösungsmenge der Gleichung $\,{x^3} = 2{x^2} + 3x \,$ ist somit  $L\,=\,\left\{0;3;-1 \right\}$

Beachten Sie, dass der Lösungsansatz, die ursprüngliche Gleichung durch x zu dividieren, nicht korrekt wäre: Eine Division durch x ist keine Äquivalenzumformung, weil x=0 in der Grundmenge liegt und deshalb allenfalls durch 0 dividiert wird. In der Tat würde so die Lösung $\,{x_1}=0\,$ "verloren gehen".

Aufgaben zu linearen Gleichungen

1)

Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungen mit Hilfe der Äquivalenzumformungen auf:

a)

\( \begin{equation} 3(x - 1) - [7 - 2\,(2x - 3)] = - x \end{equation}\)

b)

\( \begin{equation}{\frac{{4x}}{5}}+ 3 = 5x - 6\,(1 + {\frac{x}{2}} )\end{equation}\)

c)

\(\begin{equation}{(x - 5)^2} = {(2x + 3)^2} - (x + 7)(3x - 1) + 15\end{equation}\)

d)

\(\begin{equation}\frac{{3(t + 2)}}{4} - \frac{{t - 5}}{6} = 2 + \frac{{t + 1}}{3}\end{equation}\)

e)

\(\begin{equation}{(y+2)^2}- 2\,[7y - 5\,(3y +1)]= {y^2}-11 \end{equation}\)

Lösungen

 

Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

2)

Lösen Sie die folgenden Gleichungen mit Hilfe der quadratischen Auflösungsformel (nachdem Sie sie mit Hilfe von Äquivalenzumformungen auf die geeignete Form gebracht haben):

a)

\( \begin{equation} 2{x^2}-x-6=0 \end{equation}\)

b)

\( \begin{equation}(x + 2)(2x + 3) = 4{x^2}\end{equation}\)

c)

\(\begin{equation}(2x +1)^2 = x \end{equation}\)

d)

\(\begin{equation}4y(y - 1) = 7 \end{equation}\)

e)

\(\begin{equation}{z^3}=(z+3)(z-4)(z+6) \end{equation}\)

Lösungen

Weitere Erklärungen finden Sie unter folgenden Adressen:

www.youtube.com/watch?v=1kAQsHftElI&feature=autoplay&list=PL0CC688C59FF8997E&playnext=2

www.mathematik.net/lineare-gleichungen/0-inhalt-lineare-gleich-1.htm

 

Weitere Übungen zum Lösen von linearen und quadratischen Gleichungen
finden Sie unter:

Übungsseite Lineare Gleichungen (zum)   (Gleichungslehre 1 – 7)

Übungsseite Lineare Gleichungen (Flütsch)  (Aufgaben 27-30)

Übungsseite Quadratische Gleichungen (Flütsch)  (Aufgaben 1-4)

Übungsseite Gleichungen (Kunz)   (linear → 1., quadratisch → 5.)